Perbedaan Barisan dan Deret Aritmetika dengan Geometri

1. Barisan dan Deret Aritmetika

Barisan Aritmetika

Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang beda setiap dua suku yang berurutan adalah sama. Beda dinotasikan “b” memenuhi pola berikut.

b = u₂ – u₁= u₃ – u₂= u₄ – u₃ = ... = u_n – u_(n–1)

Dengan:

n adalah bilangan asli sebagai nomor suku,

u_n adalah suku ke-n.

Berdasarkan definisi di atas diperoleh bentuk umum barisan aritmetika sebagai berikut.

Rumus suku ke-n baris aritmetika

Setiap dua suku yang berurutan pada barisan aritmetika memiliki beda yang sama, maka diperoleh

u₁ = a

u₂ = u₁ + 1.b

u₃ = u₂ + b = u₁ + 2.b

u₄ = u₃ + b = u₁ + 3.b

u₅ = u₄ + b = u₁ + 4.b

…

u_n = u₁ + (n – 1)b

Jadi jika u₁, u₂, u₃, u₄, u₅, …, u_n merupakan suku-suku barisan aritmetika, rumus suku ke-n barisan tersebut dinyatakan sebagai berikut.

dengan:

a = u₁ adalah suku pertama barisan aritmetika,

b = beda barisan aritmetika

Contoh soal tentang baris aritmetika dan penyelesaiannya

1. Tentukan suku ke-7 barisan di bawah ini!

1,  4, 7, 10,...

Jawab:

Dari barisan bilangan diatas, diketahui bahwa

u1 = a = 1,

u2 = 4,

u3 = 7, ….

b = u2 – u1 = u3– u2 = 3.

Karena un = a + (n – 1)b, maka

u₇ = a + (n – 1)b.

u₇ = 1 + (7 – 1)3

u₇ = 1 + 18

u₇ = 19

2. Suku ke-3 barisan aritmetika adalah 15 dan suku ke-8 adalah 45. Tentukan suku ke-21.

Jawab:

Berikut ini salah satu cara dalam menyelesaikan soal barisan aritmetika.

Pertama mencari nilai beda dengan eliminasi suku- suku yang diketahui

Ingat bahwa u_n = a + (n – 1)b, maka:

Untuk mencari nilai a, subtitusikan nilai b ke suku ke-3 atau ke-8. Berikut dicontohkan dengan subtitusi pada suku ke-3

u₃ = a + 2b

15 = a + 2.6

15 = a + 12

a = 15 -12

a = 3

Setelah beda dan suku pertama telah diketahui sekarang kita dapat mencari suku ke-n

u_n = a + (n – 1)

u₂₁ = 3 + (21-1)6

u₂₁ = 3 +(20)6

u₂₁ = 3 + 120

u₂₁ = 123

Jadi suku ke-21 adalah 123

Deret Aritmetika

Deret aritmetika dapat diartikan sebagai penjumlahan semua suku barisan aritmetika secara berurutan.

Contoh deret aritmetika

1 + 4 + 7 + 10 + ...

Cara menghitung jumlah n suku pertama

Untuk menentukan jumlah n suku pertama, ditentukan rumus berikut:

sn = a + (a + b) + (a + 2b) + … + (a + (n – 1)b)..............(1)

Persamaan 1) juga dapat dituliskan

sn = (a + (n – 1)b) + … + (a + 2b) + (a + b) + a.............(2)

Dengan menjumlahkan kedua persamaan diatas, diperoleh:

Jadi rumus jumlah n suku pertama barisan aritmetika adalah

Contoh:

Diketahui a adalah bilangan bulat positif, tentukan nilai a jika a memenuhi

a + (a + 2) + (a + 4) + ... + 100 = 2548.

Penyelesaian:

Suku ke-n barisan bilangan di atas adalah 100, sehingga

un = a + (n – 1)b

100 = a + (n – 1)2

100 = a + 2n -2

a = 102 – 2n.

Jumlah n suku pertama adalah 2548 sehingga

sn = n/2(2a + (n – 1)b)

2548 = n/2(2a + (n – 1)2)

5096 = n (2a + (n-1))

Dengan mensubtitusikan a = 102 – 2n, diperoleh n² – 101n + 2548 = 0.

Ingat kembali cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat.

n² – 101n + 2278 = 0

 (n – 52).(n – 49) = 0.

diperoleh, n = 52 atau n = 49.  Subtitusikan nilai n ke persamaan a = 102 – 2n.

n = 52 maka a = -2

n = 49 maka a = 4

Karena diketahui nilai a bilangan bulat positif maka nilai yang memenuhi adalah n = 49 dengan nilai a = 4.

2. Barisan dan Deret Geometri

Barisan Geometri

Barisan geometri adalah barisan bilangan yang nilai pembanding (rasio) antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Rasio, dinotasikan r merupakan nilai perbandingan dua suku berurutan. Nilai rasio dinyatakan:

Rumus suku ke-n barisan geometri

Jika u₁, u₂ , u₃, …, un  merupakan susunan suku-suku barisan geometri, maka rumus suku ke-n adalah

dengan:

u₁ = a

r = rasio,

n = bilangan asli.

Contoh soal barisan geometri dan penyelesaiannya

Tentukanlah rumus suku ke-n dan suku ke-7 dari barisan 27, 9, 3, 1, ...

Rasio dua suku berurutan pada barisan 27, 9, 3, 1, . . . adalah tetap, yaitu r = 1/3 sehingga barisan bilangan tersebut merupakan barisan geometri.

Rumus suku ke-n barisan geometri tersebut adalah

Suku ke-7 barisan geometri tersebut adalah

Deret geometri

Rumus umum deret geometri

dengan:

u₁ = a

r = rasio.

Sifat-sifat deret geometri

Berikut sifat-sifat deret geometri berdasarkan nilai rasio (r) deret tersebut.

Jika suatu deret geometri suku pertama adalah u₁ = a, dan rasio = r, maka jumlah n suku pertama adalah

Pembuktian

Contoh soal deret geometri dan penyelesaiannya:

Suatu deret geometri mempunyai suku ke-3 sama dengan 16 dan

suku ke-6 sama dengan 128 . Tentukanlah jumlah n suku pertama

dan jumlah 10 suku pertama deret geometri tersebut!

Penyelesaian:

u³ = 16 , maka ar² = 16

u⁶ = 128, maka ar⁵ = 128

u⁶ = u³.r³

128 = 16.r³

8 = r³

r = 2

Dengan mensubstitusi r = 2 ke persamaan ar² = 16,

didapatkan

a.2² = 16

4a = 16

a = 4.

Deret Geometri Tak Terhingga

Deret geometri tak hingga adalah deret geometri dengan |r| < 1.

Jumlah S dari deret geometri tak hingga adalah

Rumus pada deret geometri berlaku juga untuk n tak terhingga.

Untuk n tak terhingga terdapat dua kasus, yaitu:

 Kasus 1

Jika -1 < r <  1, maka rⁿ menuju 0.

Sehingga,

Deret geometri dengan -1 < r <  1 ini disebut deret geometri konvergen (memusat).

Kasus 2

Jika r < -1 atau r > 1, maka untuk n → ¥ nilai rⁿ makin besar.

Untuk r < -1, n → ¥ dengan n ganjil didapat rⁿ → ¥

Untuk r < -1, n → ¥ dengan n genap didapat rⁿ → ¥

Untuk r > 1, n → ¥ didapat rⁿ → ¥

Sehingga

Deret geometri dengan r < -1 atau r > 1 ini disebut deret geometri divergen (memencar).

• Twitter
• Facebook
• Google
• Tumblr
• Pinterest