Cara Penghitungan
Titik Sampel Dengan Kaidah Penggandaan, Permutasi, Dan Kombinasi.
Dalam menghitung besarnya peluang suatu kejadian, kita perlu menentukan titik sampel dalam ruang sampelnya. Jika titik sampel dalam ruang sampel sangat besar maka
kita akan kesulitan jika harus menuliskannya satu-satu. Ada beberapa kadiah
dasar yang dapat digunakan dalam menentukan banyaknya titik sampel dalam ruang
sampel tanpa harus menuliskan anggota ruang sampel, yaitu kaidah penggandaan,
permutasi dan kombinasi. Berikut adalah cara penghitungan titik sampel dalam
ruang sampel dengan kaidah penggandaan, permutasi, dan kombinasi.
1. Kaidah
Penggandaan
Jika suatu operasai dapat dilakukan dalam n1 cara, jika
untuk setiap cara tersebut operasi kedua dapat dilakukan dengan n2 cara, jika
untuk setiap kedua cara yang pertama tersebut operasi ketiga dapat dilakukan
dalam n3 cara, dan seterusnya. Banyaknya cara yang dapat dilakukan pada k
operasi dalam urutan tersebut dapat dirumuskan
n1 x n2 x n3 x ... x nk
Contoh penghitungan banyak titik sampel dengan kaidah
penggandaan:
Dilakukan pelemparan dua buah dadu sekaligus sebanyak sekali.
Hitung berapa banyak titk sempelnya.
Jawab:
Dadu pertama dapat melakukan dalam 6 cara dan
untuk setiap keenam cara tersebut dadu kedua dapat
melakukan dalam 6 cara,
maka banyaknya titik sampelnya = n1 x n2 = 6 x 6 = 36
titik sampel.
2. Permutasi
Permutasi
adalah susunan yang dibentuk oleh keseluruhan atau sebagian dari sekumpulan
obyek. Banyaknya permutasi n obyek yang berbeda adalah n! (dibaca n faktorial).
Faktorial adalah hasil kali bilangan asli berurutan dari 1 sampai dengan n.
Untuk setiap bilangan
asli n, didefinisikan:
n! = 1 × 2 × 3 ×
... × (n – 2) × (n – 1) × n
atau lebih sering dituliskan
n! = n × (n – 1) × (n – 2)
× … × 3 × 2 × 1
contoh:
3! = 3 x 2 x 1 = 6
7! = 7 x 6 x5 x4 x3 x2x1 =5040
Berapa banyaknya permutasi terhadap 5 pilihan warna yang
tersedia?
Jawab:
banyaknya permutasi terhadap 5 obyek berbeda = 5! =
5x4x3x2x1 = 120.
Permutasi
pengambilan r unsur dari n unsur berbeda
Banyaknya permutasi akibat dari pengambilan r unsur dari
n unsur yang berbeda dapat dirumuskan
Contoh:
Di dalam suatu
kelas terdapat 10 orang yang akan dipilih 3 orang untuk menjadi ketua,
sekretaris, dan bendahara. Berapa banyak cara untuk memilih 3 orang tersebut?
Jawab:
Posisi ketua dapat
dipilih dengan 10 cara, posisi sekretaris dapat dipilih dengan 9 cara, dan
posisi bendahara dapat dipilih dengan 8 cara. Jadi banyak cara yang dilakukan
untuk memilih 3 orang pengurus kelas dari 10 orang kandidat adalah 10 × 9 × 8 =
720 cara
Atau juga dapat
dihitung dengan rumus permutasi diatas
Permutasi Jika Ada
Unsur yang Sama
Banyaknya
permutasi n unsur yang memuat k, l, dan m unsur
yang sama dapat ditentukan dengan rumus:
Contoh
Tentukan permutasi
atas semua unsur yang dapat dibuat dari kata “MATEMATIKA”
Jawab:
Banyak huruf pada
kata "MATEMATIKA" = 10
Huruf-huruf yang sama yaitu
banyaknya M =
2
banyaknya A =
3
banyaknya T = 2
sehingga permutasinya
Permutasi Siklis
Permutasi siklis adalah permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara
melingkar menurut arah putaran tertentu.
Contoh
Akan diadakan
rapat dihadiri oleh 8 orang yang duduk mengelilingi sebuah meja bundar.
Berapakah susunan yang dapat terjadi?
Jawab:
P(siklis) = (7 - 1)! = 6! =
6 x 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720
Kombinasi
Kombinasi merupakan Susunan yang tidak memperhatikan urutannya.
Kombinasi r unsur dari n unsur ialah himpunan bagian r unsur yang dapat diambil dari n unsur yang berlainan dengan urutan
penyusunan unsur tidak diperhatikan.
Jadi perbedaan antara permutasi dan kombinasi adalah bahwa dalam permutasi
urutan anggota dalam setiap titik sampel diperhatikan, sedangkan dalam
kombinasi tidak memperhatikan urutan anggota dalam titik sampelnya. Sehingga
jumlah titik sampel dari suatu kombinasi akan lebih kecil dibandingkan titik
sampel dari suatu permutasi.
Banyaknya
kombinasi r unsur dari n unsur umumnya dilambangkan dengan
C(n,r) = n Cr = C n,r tetapi yang paling banyak digunakan dalam konteks
matematika yaitu
Banyaknya
kombinasi dari n unsur yang
berbeda dengan setiap pengambilan dengan r
unsur dirumuskan:
Contoh:
Jika di dalam
sebuh perkumpulan pemain bulutangkis terdapat 8 orang pemain putra dan 5 orang
pemain putri. Berapakah cara penyusunan pasangan ganda untuk:
a. ganda putra
b. ganda putri
c. ganda campuran
jawab:
Cara penyusunan
ganda putra dari 8 orang pemain berarti kombinasi 2 unsur dari 8 unsur berbeda,
yaitu
Cara penyusunan
ganda putri dari 5 orang pemain berarti kombinasi 2 unsur dari 5 unsur berbeda,
yaitu
Untuk ganda
campuran berarti dari 8 putra diambil satu dan 5 putri diambil 1, maka banyak
cara penyusunan ganda campuran adalah
EmoticonEmoticon