Sebelum dapat menghitung hasil bagi dan sisa
pembagian pada suku banyak, kita perlu memahami mana yang dimaksud hasil bagi
dan yang dimaksud sisa pembagian pada sebuah operasi pembagian.
Cermatilah
uraian berikut.
Sebuah
suku banyak ax3 + bx2 + cx + d dibagi oleh (x –
k).
Jika
dilakukan perhitungan dengan cara susun akan diperoleh sebagai berikut.
Berdasarkan
perhitungan diatas, hasil bagi pada operasi diatas adalah ax2 + (ak + b)x + (ak2
+ b + c) dan sisa pembagiannya
yaitu ak3 + bk2 + ck + d.
Jika
persoalan diatas dikerjakan dengan cara horner maka akan diperoleh
ax2
+ (ak + b)x + (ak2 + b + c)
adalah hasil bagi dan ak3 + bk2 + ck + d adalah sisa pembagian.
Perhitungan dengan cara susun dan cara horner
menghasilkan nilai yang sama. Jadi cara horner juga dapat digunakan untuk
menghitung hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak.
Pembagian
Suku Banyak oleh Bentuk (x – k)
Suku
banyak f(x) yang berderajat
n jika dibagi
oleh fungsi berderajat satu akan menghasilkan hasil bagi berderajat (n – 1) dan sisa pembagian berbentuk
konstanta.
Berikut
ini contoh
soal agar lebih memahami cara menentukan derajat hasil bagi
dan sisa pembagian suku banyak.
Contoh
soal:
Tentukanlah
hasil bagi dan sisa pembagian dari x3
+ 2x2 + 3x + 6 dibagi (x – 2)!
Jawab:
Menghitung hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak dengan cara susun
Dengan menggunakan cara susun diperoleh hasil bagi x2 + 4x +
11 dan sisa pembagiannya adalah 28.
Menghitung hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak dengan cara horner
Dengan menggunakan cara horner diperoleh hasil bagi 1x2 + 4x
+ 11 dan sisa pembagiannya adalah 28.
Jadi terbukti bahwa dengan cara susun dan cara horner akan menghasilkan
nilai yang sama.
Berdasarkan
perhitungan diatas diketahui bahwa
(x3 + 2x2 + 3x + 6) : (x – 2) = x2 + 4x
+ 11 dengan sisa 28.
Sehingga
suku banyak f(x) dapat ditulis
sebagai
x3
+ 2x2 + 3x + 6 = (x – 2 ) (x2 + 4x
+ 11) + 28 atau
f(x) = (x – 2) × h(x) +
sisa
dengan:
h(x) = x2 + 4x + 11
sisa
= 28
Jika
nilai x = 2 disubstitusikan
pada persamaan (i), diperoleh
f(2)
= (2 – 2 ) × h(2) + sisa
=
0 × h(2) + sisa
=
sisa
Jadi,
sisa pembagian oleh (x – 2)
terhadap f(x) adalah f(2).
Dari uraian di atas, bentuk umum pembagian suku
banyak dapat dinyatakan sebagai berikut.
Sisa pembagian oleh (x – k) terhadap f(x)
= anxn + an–1xn–1 + an–2xn–2 + .... + a2x2 + a1x + a0 adalah f(k)
atau secara matematis dapat dituliskan:
f(x)
= (x – k).h(x) + f(k)
dengan:
f(k)=
sisa
Pembagian
Suku Banyak oleh Bentuk (ax
+ b)
Perhitungan
pembagian suku banyak dengan pembagi (ax
+ b) pada dasarnya tidak
jauh berbedan dengan pembagian
suku banyak dengan pembagi (x –
k).
Bentuk
umum pembagian suku banyak f(x) oleh (ax + b) dapat
dituliskan sebagai berikut.
dengan:
Memang terlihat agak membingungkan, akan jadi lebih
mudah ketika sudah mengerjakan contoh soalnya.
Contoh soal:
Tentukanlah
hasil bagi dan sisa dari 2x3
+ 3x2 + 4x – 2 dibagi (2x – 1)!
Jawab:
Kita
akan mengerjakan soal tersebut dengan cara horner.
Pertama
tentukan faktor pengali dalam skema horner dengan cara x = -b/a.
Ingat
bentuk pembagi pada soal adalah (ax+b), maka b = -1 dan a = 2.
Sehingga
x = -b/a = -(-1)/2 = 1/2.
Setelah
memperoleh nilai pengalinya yaitu ½, kita buat skema hornernya.
Coba
perhatikan kembali bentuk umum pembagian
suku banyak oleh bentuk (ax + b).
Hasil bagi = h(x)/a = (2x2
+ 4x + 6)/2 = x2 + 2x +3
Sisa pembagian = 1
Jadi,
hasil bagi adalah (x2 + 2x +3) dan sisa pembagian adalah 1.
Pembagian
Suku Banyak oleh Bentuk Kuadrat (ax2
+ bx + c)
Pembagian
suku banyak dengan ax2
+ bx + c dapat dilakukan dengan cara horner jika ax2 + bx + c dapat difaktorkan, sedangkan jika ax2 + bx + c tidak dapat difaktorkan maka dapat menggunakan cara
pembagian biasa.
Suatu
suku banyak f(x) dibagi ax2 + bx +
c yang dapat difaktorkan
menjadi (ax – p1)(x – p2). Langkah-langkah
pengerjaan adalah sebagai berikut.
-Pertama
f(x) dibagi (ax – p1)
menghasilkan
dengan:
h1(x) = h(x)/a
-kemudian h(x) dibagi (x – p2),
menghasilkan
h1(x) = (x – p2) ⋅ h2(x) + h1(p2).
- Substitusikan h1(x) = (x – p2)⋅ h2(x)
+ h1(p2) ke f(x), hasilnya
Karena
(ax – p1)(ax – p2) = ax2 + bx + c, maka persamaan diatas dapat ditulis:
Sekarang
kita bahas contoh soal pembagian suku banyak oleh bentuk kuadrat.
Contoh
soal:
Tentukanlah
hasi bagi dan sisanya
x3
+ 2x – 3 dibagi (x2 – 1)!
Jawab:
Karena
(x2 – 1) dapat
difaktorkan maka
pembagian
tersebut dapat dilakukan dengan 2 cara, yaitu cara pembagian
biasa(susun) dan skema horner. Kita akan
menggunakan skema horner.
Faktorkan
pembaginya terlebih dahulu, (x2 – 1) dapat difaktorkan menjadi (x + 1)(x – 1).
x3
+ 2x – 3 dibagi
dengan (x + 1) akan
menghasilkan
hasil di
atas dibagi lagi dengan faktor yang kedua yaitu (x – 1), hasilnya
Sekarang
perhatikan kembali bentuk umum pembagian
suku banyak
oleh bentuk kuadrat agar
lebih paham mana yang hasil bagi dan sisa pembagian.
Hasil bagi = x + 0 = x
Sisa pembagian = (ax – p1) ⋅ h1(p2)
+ f(p1/a)
=
(x+1).3 + (-6)
=
3x +3-6
=
3x – 3
Jadi
hasil bagi
adalah x dan sisa pembagian adalah 3x – 3.
1 comments:
Write commentskreen.maksi
ReplyEmoticonEmoticon